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01네 성분에 하나의 회전을 담는다

이 글의 첫 번째 관심은 좌표계 A에서 본 좌표계 B의 방향이다. 위아래에 붙은 A와 B는 거듭제곱이나 곱셈이 아니라 좌표계의 관계를 구별하는 이름으로 읽는다. 같은 벡터라도 어느 좌표계의 성분인지에 따라 숫자가 달라질 수 있으므로, 먼저 기준을 정한다.

02회전축과 회전각을 먼저 정한다

회전축 r̂의 세 성분은 x·y·z 방향으로 얼마나 향하는지 나타낸다. 각도 θ는 이 축을 중심으로 얼마나 회전하는지를 나타낸다. 축의 길이를 1로 맞추는 이유는 회전축의 방향과 크기 정보를 분리하기 위해서이다.

03반각을 이용하여 쿼터니언을 만든다

먼저 θ를 2로 나누고, 그 반각의 코사인을 q₁에 넣는다. 나머지 세 성분은 회전축의 각 성분에 반각의 사인을 곱하여 구성한다. 이 부분에서는 벡터부 앞에 음의 부호를 사용하므로, 이후의 회전 변환도 같은 정의를 따라 읽어야 한다.

네 성분의 제곱합이 1이라는 다음 식은 단위 쿼터니언의 조건이다. 이는 네 성분이 서로 무관한 네 개의 회전각이 아니라, 하나의 길이 조건으로 연결되어 있음을 보여준다.

04i, j, k의 곱에서는 순서가 중요하다

a는 실수 성분이고 b·c·d는 세 기저 i·j·k에 대응하는 계수이다. i², j², k²가 모두 −1이라는 규칙과 함께, ij와 ji의 부호가 반대라는 점을 확인한다. 따라서 일반적인 실수 곱셈처럼 앞뒤 순서를 바꾸어 정리하면 안 된다.

05켤레와 연속 회전을 구별한다

켤레는 첫 성분을 유지하고 나머지 세 성분의 부호를 바꾼다. 단위 쿼터니언의 회전 문맥에서는 반대 방향의 변환을 연결하는 데 사용한다. 이어지는 곱셈 식은 A에서 B, 다시 C로 이어지는 관계를 하나로 묶은 것으로, 중간 좌표계와 곱의 순서를 함께 확인한다.

06곱셈을 성분 계산으로 펼친다

Hamilton rule 아래의 전개는 추상적인 곱 기호를 네 성분의 계산으로 옮기는 구간이다. qₐ와 qᵦ의 성분을 정한 뒤, 제시된 행렬의 열과 행을 따라 곱하고 더한다. 행렬 표현과 최종 성분 표현이 같은 연산을 나타내는지 살펴보는 것이 핵심이며, 그림에만 있는 세부 항은 실제 식을 확인하며 따라간다.

07회전축 표기와 반각의 부호를 확인한다

여기서는 Euler axis를 ê로 놓고 각 성분을 다시 적는다. 앞부분의 r̂ 표기와 달리 사인 항 앞의 부호가 달라 보이므로, 두 표현을 조건 확인 없이 같은 코드에 섞지 않는다. 반각 식에 ±가 나타나는 이유도 제곱한 값만으로 원래의 부호를 정할 수 없기 때문이다. 각도의 범위와 제곱근이 적용되는 범위를 함께 읽는다.

08크기와 역변환은 서로 다른 개념이다

노름은 네 성분을 각각 제곱하여 더한 뒤 제곱근을 취한 크기이다. 켤레는 성분의 부호만 바꾸므로 이 크기를 바꾸지 않는다. 역변환을 설명하는 식은 이 글의 단위 쿼터니언 조건과 함께 읽으며, 비단위 쿼터니언에 분모를 그대로 적용할 수 있다고 일반화하지 않는다.

093차원 벡터를 회전 계산에 넣는다

벡터의 x·y·z 성분 앞에 0을 붙이면 쿼터니언 곱에 넣을 수 있는 네 성분 형태가 된다. 이때 0은 새로운 공간축이 아니라 스칼라 성분을 비워 둔 것이다. q, 벡터, q*를 차례로 곱한 식은 회전 전후의 벡터 표현을 연결하며, 이어지는 식은 이 변환을 두 번 적용한 관계를 보여준다.

10회전행렬과 같은 좌표 변환을 비교한다

회전행렬 R을 벡터에 곱하는 표현도 앞에서 다룬 좌표 변환을 나타낸다. A→B→C를 차례로 적용한 식과 A→C를 한 번에 적용한 식을 비교하면, 연속 변환이 행렬의 곱으로 묶이는 이유를 이해할 수 있다. 어느 좌표계의 벡터가 입력되고 어느 좌표계로 나오는지를 먼저 읽는다.

11회전의 변화율로 연결한다

q 위의 점은 시간에 대한 변화율을 뜻한다. 각속도 ω와 현재 쿼터니언의 곱으로 q가 얼마나 빠르게 변하는지 표현하는 식이다. 이 식 자체가 다음 시점의 자세는 아니며, 시간 간격에 대한 누적은 각속도 기반 자세 추정 문서에서 이어서 다룬다.

01행렬을 보기 전에 좌표축의 조건을 확인한다

이 문서는 회전행렬의 구조에서 시작한다. 이어지는 축의 내적이 0이라는 식은 서로 수직임을, 각 축의 노름이 1이라는 식은 길이를 통일했음을 나타낸다. 방향만 바꾸는 좌표계를 만들기 위해 두 조건을 함께 사용한다.

02전치는 회전을 되돌리는 연산과 연결된다

RᵀR=I는 회전을 적용한 뒤 전치행렬을 적용하면 원래 표현으로 돌아온다는 뜻이다. 따라서 이 조건을 만족하는 회전행렬에서는 Rᵀ와 R⁻¹이 같다. 모든 행렬의 전치가 역행렬인 것은 아니므로, 앞의 직교 조건을 생략하지 않는다.

03여러 좌표계를 거치는 변환을 묶는다

먼저 A 좌표계의 벡터를 B로 옮기고, 그 결과를 다시 C로 옮긴다. 두 식을 대입하면 중간 벡터 대신 두 회전행렬의 곱이 남는다. 벡터를 열로 두는 표현에서는 벡터 가까이에 있는 오른쪽 행렬부터 작용하므로, 식을 읽을 때에도 적용 순서를 구별한다.

04내적은 두 방향이 얼마나 나란한지 보여준다

두 벡터의 내적을 각각의 길이로 나누면 크기의 영향을 없애고 방향 사이의 코사인만 남길 수 있다. 방향이 수직이면 코사인이 0이고 내적도 0이다. 분모에 두 벡터의 길이가 있으므로 영벡터에는 이 각도식을 적용하지 않는다.

05벡터를 기준축의 합으로 표현한다

벡터 u를 세 기저벡터의 배수로 더하면 각 축 방향의 성분을 따로 볼 수 있다. 단위방향의 경우 방향코사인의 제곱합이 1이 된다. 이어지는 전개에서는 벡터의 크기를 분리하고 각 축으로의 투영을 정리하여 방향 성분을 얻는다.

06방향코사인으로 회전행렬의 성분을 읽는다

두 좌표계의 축이 이루는 각도를 내적으로 표현하면 행렬의 성분이 된다. 한 열 또는 한 행에 놓인 세 값은 특정 축이 다른 좌표계에서 어떻게 보이는지를 나타낸다. 다만 행·열의 의미는 이 문서에서 정한 변환 방향에 따라 읽어야 하며, 전치된 관계와 혼용하지 않는다.

07같은 관계를 반대 방향에서 확인한다

A에 대한 B의 회전과 B에 대한 A의 회전은 서로 역관계이다. 각 좌표계의 축벡터를 나열한 뒤 왕복 변환을 대입하면 단위행렬 관계로 돌아간다. 계산 결과가 같은 벡터로 복원되는지 확인하는 것이 이 구간의 판단 기준이다.

08입력과 출력 좌표계를 문장으로 읽는다

마지막 식은 B에서 표현한 점의 성분을 A에서의 성분으로 옮기는 관계이다. 식 왼쪽은 얻고자 하는 표현이고, 오른쪽은 변환행렬과 이미 알고 있는 표현이다. 좌표계 이름을 먼저 읽은 다음 행렬의 각 성분을 확인하면 긴 전개도 목적을 잃지 않고 따라갈 수 있다.

01고정된 축과 함께 움직이는 축을 구별한다

이동 좌표계에서는 앞선 회전으로 바뀐 축을 다음 회전의 기준으로 삼는다. 고정 좌표계에서는 처음 정한 축을 계속 기준으로 삼는다. 원문이 두 경우의 행렬곱 순서를 따로 설명하는 이유는 이 기준이 서로 다르기 때문이다.

02축별 회전을 하나의 행렬로 묶는다

R_z, Rᵧ, Rₓ를 곱한 결과는 세 회전을 순차적으로 적용한 전체 변환이다. 행렬 성분을 펼치면 사인·코사인의 곱과 합이 나타나지만, 출발점은 세 개의 단순한 축별 회전이다. 이어지는 세 축벡터는 계산된 행렬의 열 성분을 나누어 적은 것이다.

03행렬에서 Roll·Pitch·Yaw를 다시 읽는다

r₃₂와 r₃₃처럼 짝을 이루는 성분으로 한 각도를 구하고, 다른 성분 조합으로 나머지 각도를 구한다. 먼저 제시된 θ의 범위를 확인해야 어느 각도 가지를 선택하는지 알 수 있다. 두 인수 ArcTan 표기는 일반적인 atan2 함수의 인수 순서와 자동으로 같다고 가정하지 않는다.

뒤의 다른 각도 구간은 부호 선택을 따로 다룬다. ArcSin의 주값만으로 모든 구간의 θ가 유일하게 복원되는 것으로 읽지 않고, 제시된 범위와 부호를 함께 확인한다.

04행렬의 열과 기준축의 관계를 비교한다

세 외적 식은 각 축이 기준축과 나란한지, 어느 방향으로 어긋나는지 살펴보는 전개이다. 이어지는 내적 식은 기준축 방향의 성분을 꺼내어 방향코사인과 연결한다. 같은 열벡터에서 외적과 내적이 서로 다른 정보를 준다는 점을 구별한다.

05축별 쿼터니언 전개로 연결한다

이 구간은 앞에서 얻은 축의 관계를 반각 표현과 쿼터니언 성분으로 옮긴다. q₁부터 q₄까지의 정의를 유지하면서, x·y·z 축에 대응하는 식을 나누어 읽는다. 긴 전개에서는 새 회전 규칙을 외우기보다 어느 축의 성분을 없애거나 결합하는지 확인한다. 이미지에만 있는 중간 항을 주변 식만으로 새로 정하지는 않는다.

01크기를 구하는 식과 부호를 정하는 식을 나눈다

q₁은 대각 성분의 합으로 구하고, q₂·q₃·q₄는 대각 성분의 차이와 Sign 항을 함께 사용한다. 제곱근은 성분의 크기에 관련되고, Sign은 방향에 관련된다. 따라서 제곱근 부분만 계산해서는 전체 쿼터니언을 결정한 것으로 볼 수 없다.

02단위 길이 조건을 이용해 항을 묶는다

먼저 네 성분의 제곱합이 1이라는 조건을 둔다. 다음으로 r₁₁+r₂₂+r₃₃+1에 각 대각 성분의 표현을 대입한다. 같은 종류의 항을 묶고 제곱합을 1로 바꾸면 4q₁²가 남는다.

03다른 성분도 같은 방식으로 분리한다

대각 성분의 부호 조합을 바꾸면 q₂², q₃², q₄²를 각각 남길 수 있다. 네 식의 모양을 따로 외우기보다 어떤 대각 성분은 더하고 어떤 성분은 빼는지 비교한다. 마지막 q₄ 전개의 중간에는 a₄라는 표기도 나타나므로, q₄와의 동일성이 별도 정의 없이 확정된 것으로 읽지 않는다.

04분리한 제곱을 성분으로 되돌린다

4qᵢ²에서 성분을 얻으면 제곱근 앞에 1/2이 붙는다. 나머지 부호는 처음 제시한 차이와 Sign 항으로 연결된다. 근호 안이 허용 범위에 있는지, 선택한 부호식이 0이 되는지까지 확인해야 실제 계산으로 옮길 수 있다.

01세 축의 회전을 차례로 연결한다

Qₓ에는 x축에 해당하는 벡터 성분만, Qᵧ에는 y축 성분만, Q_z에는 z축 성분만 남는다. 이들을 Qₓ⊗Qᵧ⊗Q_z 순서로 곱하여 하나의 쿼터니언을 만든다. 각도를 더하는 대신 곱을 사용하는 이유는 축 사이의 회전 관계도 함께 반영해야 하기 때문이다.

02첫 성분은 두 곱의 합으로 나온다

q₁은 세 반각의 코사인을 곱한 항과 세 반각의 사인을 곱한 항의 합으로 제시되어 있다. 먼저 세 반각을 계산하고, 각 항의 곱을 구한 뒤 더하면 된다. 원문 식에서 φ=θ=ψ=0을 대입하면 q₁=1, 나머지 성분은 0이 되어 회전이 없는 경우를 확인할 수 있다.

03나머지 성분은 부호를 포함하여 한 묶음으로 읽는다

q₂·q₃·q₄에는 사인과 코사인이 서로 다른 위치에 들어간 두 항이 나타난다. 각 줄에서 음의 부호가 어느 항에 붙는지 확인하며 계산한다. 동일한 축 회전 정의에서 나온 네 줄이므로, 한 성분만 다른 자료의 식으로 바꾸면 전체 규약이 어긋날 수 있다.

01행렬 성분으로 표현한 결과에서 출발한다

먼저 q₁부터 q₄까지를 회전행렬의 성분으로 적는다. 다음 단계에서 이 rᵢⱼ 자리에 오일러각의 사인·코사인 표현을 넣을 예정이다. 어떤 변수를 다른 표현으로 바꾸는지 먼저 알면 식의 길이가 늘어나는 이유를 이해할 수 있다.

02삼각함수 표현을 대입하고 정리한다

대입 후에는 여러 사인·코사인의 곱이 제곱근과 부호 함수 안에 나타난다. 이 단계의 목적은 같은 회전을 φ·θ·ψ만으로 표현하는 것이다. 중간식의 길이를 줄이려고 항이나 부호를 생략하지 않고, 어느 q 성분을 계산하는지 구분해 따라간다.

03한 축만 남겨 결과를 확인한다

Q[φ,0,0]에서는 x축 회전만 남고, Q[0,θ,0]과 Q[0,0,ψ]에서는 각각 y축과 z축 회전만 남는다. 다른 두 각도가 0이 되면 많은 항이 없어져 반각의 사인·코사인 두 값으로 단순해진다. 이는 복잡한 일반식을 이해하기 위한 가장 직접적인 확인 과정이다.

04단순한 축 회전을 다시 합성한다

B[B[Qₓ,Qᵧ],Q_z]처럼 안쪽 결합부터 계산한다. 이 표기는 먼저 두 축을 결합한 다음 세 번째 축을 결합한다는 순서를 드러낸다. 이어지는 성분식은 이 결합을 실제 숫자와 삼각함수의 계산으로 펼친 결과이다.