축별 쿼터니언의 합성

개념에서 수식으로

먼저 이해할 내용

축별 회전을 모두 적용했을 때의 자세는 각도를 단순히 더해서 얻는 것이 아니다. 이 글에서는 x·y·z 축에 대한 쿼터니언을 차례로 곱하여 전체 자세의 네 성분을 구한다.

축마다 두 성분만 남는 단순한 쿼터니언을 만든 뒤, 원문에 적힌 곱의 순서를 유지하며 전개한다. 결과를 스칼라 성분 하나와 벡터 성분 셋으로 나누어 확인한다.

Qₓ에는 x축에 해당하는 벡터 성분만, Qᵧ에는 y축 성분만, Q_z에는 z축 성분만 남는다. 이들을 Qₓ⊗Qᵧ⊗Q_z 순서로 곱하여 하나의 쿼터니언을 만든다. 각도를 더하는 대신 곱을 사용하는 이유는 축 사이의 회전 관계도 함께 반영해야 하기 때문이다.

주제와 표기

$\hat{q} = Q_{x} [ϕ] \otimes Q_{y} [θ] \otimes Q_{z} [ψ]$

\hat{q} = {\cos [\frac{ϕ}{2}], - \sin [\frac{ϕ}{2}], 0, 0} \otimes {\cos [\frac{θ}{2}], 0, - \sin [\frac{θ}{2}], 0} \otimes {\cos [\frac{ψ}{2}], 0, 0, - \sin [\frac{ψ}{2}]}

q₁은 세 반각의 코사인을 곱한 항과 세 반각의 사인을 곱한 항의 합으로 제시되어 있다. 먼저 세 반각을 계산하고, 각 항의 곱을 구한 뒤 더하면 된다. 원문 식에서 φ=θ=ψ=0을 대입하면 q₁=1, 나머지 성분은 0이 되어 회전이 없는 경우를 확인할 수 있다.

q_{1} = \cos [\frac{ϕ}{2}] \cos [\frac{θ}{2}] \cos [\frac{ψ}{2}] + \sin [\frac{ϕ}{2}] \sin [\frac{θ}{2}] \sin [\frac{ψ}{2}]

q₂·q₃·q₄에는 사인과 코사인이 서로 다른 위치에 들어간 두 항이 나타난다. 각 줄에서 음의 부호가 어느 항에 붙는지 확인하며 계산한다. 동일한 축 회전 정의에서 나온 네 줄이므로, 한 성분만 다른 자료의 식으로 바꾸면 전체 규약이 어긋날 수 있다.

q_{2} = - \sin [\frac{ϕ}{2}] \cos [\frac{θ}{2}] \cos [\frac{ψ}{2}] + \cos [\frac{ϕ}{2}] \sin [\frac{θ}{2}] \sin [\frac{ψ}{2}]

q_{3} = - \cos [\frac{ϕ}{2}] \sin [\frac{θ}{2}] \cos [\frac{ψ}{2}] - \sin [\frac{ϕ}{2}] \cos [\frac{θ}{2}] \sin [\frac{ψ}{2}]

q_{4} = - \cos [\frac{ϕ}{2}] \cos [\frac{θ}{2}] \sin [\frac{ψ}{2}] + \sin [\frac{ϕ}{2}] \sin [\frac{θ}{2}] \cos [\frac{ψ}{2}]

합성식의 핵심은 회전 순서와 부호 규약이다. 성분별 삼각함수 항은 그 규칙을 계산한 결과이며, 네 성분을 따로 정하는 독립 공식이 아니다.

Rest Math · https://rmath.com/articles/quaternion-composition.html · 2026.09.08 v5 · 해설·음성판