오일러각 · Rest Math

개념에서 수식으로

먼저 이해할 내용

오일러각은 세 축에 대한 회전을 순서대로 적용하여 자세를 나타낸다. 같은 세 각도를 사용하더라도 고정된 축을 기준으로 도는지, 앞의 회전과 함께 움직인 축을 기준으로 도는지에 따라 읽는 방식이 달라진다. 이 글은 그 차이를 먼저 구별한다.

기호를 먼저 읽기

φ, θ, ψ: 이 문서의 Roll·Pitch·Yaw 각도
Rₓ, Rᵧ, R_z: 각 축 주위의 회전행렬
rᵢⱼ: 회전행렬의 i행 j열 성분
ArcTan[x,y]: 원문에서 y/x의 각도를 구하는 두 인수 표기
x̂ᴮ, ŷᴮ, ẑᴮ: B 좌표계의 축을 나타내는 벡터

이 글의 흐름

이동 좌표계와 고정 좌표계를 구별한 뒤 Z·Y·X 회전의 행렬곱을 읽는다. 다음으로 행렬의 특정 성분에서 각도를 역으로 구하고, 축의 내적·외적 관계까지 살펴본다.

고정된 축과 함께 움직이는 축을 구별한다

이동 좌표계에서는 앞선 회전으로 바뀐 축을 다음 회전의 기준으로 삼는다. 고정 좌표계에서는 처음 정한 축을 계속 기준으로 삼는다. 원문이 두 경우의 행렬곱 순서를 따로 설명하는 이유는 이 기준이 서로 다르기 때문이다.

주제와 표기

Euler Angle (Roll φ ${\hat{x}}_{B}$ , Pitch θ ${\hat{y}}_{B}$ , Yaw ψ ${\hat{z}}_{B}$ , ZYX)

Euler Angle (Roll φ ${\hat{x}}_{B}$ , Pitch θ ${\hat{y}}_{B}$ , Yaw ψ ${\hat{z}}_{B}$ , ZYX) →Rotation Matri $x_{B}^{A} R$

Z-Y-X 오일러 각 (이동 좌표계)

$수식$

→모든 회전이 이동 좌표계에 대한 회전을 이용한 상대변환이므로 해당 변환행렬을 앞에서부터 순차적으로 곱한다.

Roll-Pitch-Yaw (고정 좌표계)

→고정기준좌표계{A}의 X축에 대해 φ만큼 회전 후 고정좌표계의 Y축에 대해 θ만큼 회전한 후,
고정좌표계의 Z축에 대해 ψ만틈 연속적으로 회전을 하여 특정방위를 나타내는 좌표계{B}를 얻는 방법

→모든 회전이 고정 기준 좌표계에 대한 회전을 이용한 절대변환이므로 해당 변환행렬을 뒤에서부터 앞으로 역순으로 곱한다.

_{B}^{A} R = R_{\hat{z}} [ψ] R_{\hat{y}} [θ] R_{\hat{x}} [ϕ]

축별 회전을 하나의 행렬로 묶는다

R_z, Rᵧ, Rₓ를 곱한 결과는 세 회전을 순차적으로 적용한 전체 변환이다. 행렬 성분을 펼치면 사인·코사인의 곱과 합이 나타나지만, 출발점은 세 개의 단순한 축별 회전이다. 이어지는 세 축벡터는 계산된 행렬의 열 성분을 나누어 적은 것이다.

$수식$

{\hat{x}}_{B} = (\begin{matrix} r_{11} & r_{21} & r_{31} \end{matrix})

{\hat{y}}_{B} = (\begin{matrix} r_{12} & r_{22} & r_{32} \end{matrix})

{\hat{z}}_{B} = (\begin{matrix} r_{13} & r_{23} & r_{33} \end{matrix})

행렬에서 Roll·Pitch·Yaw를 다시 읽는다

r₃₂와 r₃₃처럼 짝을 이루는 성분으로 한 각도를 구하고, 다른 성분 조합으로 나머지 각도를 구한다. 먼저 제시된 θ의 범위를 확인해야 어느 각도 가지를 선택하는지 알 수 있다. 두 인수 ArcTan 표기는 일반적인 atan2 함수의 인수 순서와 자동으로 같다고 가정하지 않는다.

뒤의 다른 각도 구간은 부호 선택을 따로 다룬다. ArcSin의 주값만으로 모든 구간의 θ가 유일하게 복원되는 것으로 읽지 않고, 제시된 범위와 부호를 함께 확인한다.

Rotation Matrix $_{B}^{A}$ R → Roll φ ${\hat{x}}_{B}$ ,Pitch θ ${\hat{y}}_{B}$ ,Yaw ψ ${\hat{z}}_{B}$

_{B}^{A} R = (\begin{matrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{matrix})

→the three RPY angles are (θ∈(-π/2,π/2))

ϕ = ArcTan [r_{33}, r_{32}]

θ = ArcTan [\sqrt{{r_{32}}^{2} + {r_{33}}^{2}}, - r_{31}] = \arcsin [- r_{31}]

ψ = ArcTan [r_{11}, r_{21}]

→or (θ∈(π/2,3 π/2))

ϕ = ArcTan [- r_{33}, - r_{32}]

θ = ArcTan [- \sqrt{{r_{32}}^{2} + {r_{33}}^{2}}, - r_{31}] = \arcsin [- r_{31}]

ψ = ArcTan [- r_{11}, - r_{21}]

x,y,z

행렬의 열과 기준축의 관계를 비교한다

세 외적 식은 각 축이 기준축과 나란한지, 어느 방향으로 어긋나는지 살펴보는 전개이다. 이어지는 내적 식은 기준축 방향의 성분을 꺼내어 방향코사인과 연결한다. 같은 열벡터에서 외적과 내적이 서로 다른 정보를 준다는 점을 구별한다.

Cross [{r 11, r 21, r 31}, {1, 0, 0}] = {0, r 31, - r 21}

Cross [{r 12, r 22, r 32}, {0, 1, 0}] = {- r 32, 0, r 12}

Cross [{r 13, r 23, r 33}, {0, 0, 1}] = {r 23, - r 13, 0}

Dot [{r 11, r 21, r 31}, {1, 0, 0}] = r 11

Dot [{r 12, r 22, r 32}, {0, 1, 0}] = r 22

Dot [{r 13, r 23, r 33}, {0, 0, 1}] = r 33

r 11 = \cos [α]

r 22 = \cos [β]

r 33 = \cos [γ]

축별 쿼터니언 전개로 연결한다

이 구간은 앞에서 얻은 축의 관계를 반각 표현과 쿼터니언 성분으로 옮긴다. q₁부터 q₄까지의 정의를 유지하면서, x·y·z 축에 대응하는 식을 나누어 읽는다. 긴 전개에서는 새 회전 규칙을 외우기보다 어느 축의 성분을 없애거나 결합하는지 확인한다. 이미지에만 있는 중간 항을 주변 식만으로 새로 정하지는 않는다.

$수식$

\sin [\frac{θ}{2}] = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos [θ]}{2}}

\cos [\frac{θ}{2}] = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos [θ]}{2}}

_{B}^{A} \hat{q} = (\begin{matrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} & q_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos [\frac{θ}{2}] & - r_{x} \sin [\frac{θ}{2}] & - r_{y} \sin [\frac{θ}{2}] & - r_{z} \sin [\frac{θ}{2}] \end{matrix})

$수식$

= {\sqrt{{q_{1}}^{2} + {q_{2}}^{2}}, 0, - 2 (q_{2} q_{4} + q_{1} q_{3}) \sqrt{1 - {q_{1}}^{2} - {q_{2}}^{2}}, 2 (q_{2} q_{3} - q_{1} q_{4}) \sqrt{1 - {q_{1}}^{2} - {q_{2}}^{2}}}

$수식$

= {\sqrt{{q_{1}}^{2} + {q_{3}}^{2}}, 2 (q_{3} q_{4} - q_{1} q_{2}) \sqrt{1 - {q_{1}}^{2} - {q_{3}}^{2}}, 0, - 2 (q_{2} q_{3} + q_{1} q_{4}) \sqrt{1 - {q_{1}}^{2} - {q_{3}}^{2}}}

$수식$

= {\sqrt{{q_{1}}^{2} + {q_{4}}^{2}}, - 2 (q_{3} q_{4} + q_{1} q_{2}) \sqrt{1 - {q_{1}}^{2} - {q_{4}}^{2}}, 2 (q_{2} q_{4} - q_{1} q_{3}) \sqrt{1 - {q_{1}}^{2} - {q_{4}}^{2}}, 0}

$수식$

q x \otimes q = {\sqrt{{q_{1}}^{2} + {q_{2}}^{2}}, 0, - 2 (q_{2} q_{4} + q_{1} q_{3}) \sqrt{1 - {q_{1}}^{2} - {q_{2}}^{2}}, 2 (q_{2} q_{3} - q_{1} q_{4}) \sqrt{1 - {q_{1}}^{2} - {q_{2}}^{2}}} \otimes {q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}}

$수식$

q y \otimes q = {\sqrt{{q_{1}}^{2} + {q_{3}}^{2}}, 2 (q_{3} q_{4} - q_{1} q_{2}) \sqrt{1 - {q_{1}}^{2} - {q_{3}}^{2}}, 0, - 2 (q_{2} q_{3} + q_{1} q_{4}) \sqrt{1 - {q_{1}}^{2} - {q_{3}}^{2}}} \otimes {q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}}

$수식$

q z \otimes q = {\sqrt{{q_{1}}^{2} + {q_{4}}^{2}}, - 2 (q_{3} q_{4} + q_{1} q_{2}) \sqrt{1 - {q_{1}}^{2} - {q_{4}}^{2}}, 2 (q_{2} q_{4} - q_{1} q_{3}) \sqrt{1 - {q_{1}}^{2} - {q_{4}}^{2}}, 0} \otimes {q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}}

$수식$

정리하면

오일러각은 숫자 세 개만으로 정의되지 않는다. 축의 기준, 적용 순서, 각도 범위를 함께 적어야 같은 자세를 뜻하는 표현이 된다.

Rest Math · https://rmath.com/articles/euler-angles.html · 2026.09.08 v5 · 해설·음성판

먼저 이해할 내용

기호를 먼저 읽기

이 글의 흐름

01고정된 축과 함께 움직이는 축을 구별한다

Euler Angle (Roll φ x^B, Pitch θ y^B, Yaw ψ z^B, ZYX) →Rotation MatrixBAR

Z-Y-X 오일러 각 (이동 좌표계)

Roll-Pitch-Yaw (고정 좌표계)

02축별 회전을 하나의 행렬로 묶는다

03행렬에서 Roll·Pitch·Yaw를 다시 읽는다

Rotation Matrix BAR → Roll φx^B,Pitch θy^B,Yaw ψz^B

x,y,z

04행렬의 열과 기준축의 관계를 비교한다

05축별 쿼터니언 전개로 연결한다

정리하면

함께 읽을 노트

고정된 축과 함께 움직이는 축을 구별한다

Euler Angle (Roll φ ${\hat{x}}_{B}$ , Pitch θ ${\hat{y}}_{B}$ , Yaw ψ ${\hat{z}}_{B}$ , ZYX) →Rotation Matri $x_{B}^{A} R$

축별 회전을 하나의 행렬로 묶는다

행렬에서 Roll·Pitch·Yaw를 다시 읽는다

Rotation Matrix $_{B}^{A}$ R → Roll φ ${\hat{x}}_{B}$ ,Pitch θ ${\hat{y}}_{B}$ ,Yaw ψ ${\hat{z}}_{B}$

행렬의 열과 기준축의 관계를 비교한다

축별 쿼터니언 전개로 연결한다