회전행렬에서 쿼터니언으로

개념에서 수식으로

먼저 이해할 내용

이미 회전행렬을 알고 있다면, 그 안의 정보를 다시 쿼터니언 네 성분으로 정리할 수 있다. 이 글에서는 대각 성분을 더하거나 빼서 각 성분의 제곱을 분리하고, 나머지 성분의 차이로 부호를 정하는 흐름을 다룬다.

기호를 먼저 읽기

r₁₁, r₂₂, r₃₃: 회전행렬의 세 대각 성분
q₁ … q₄: 복원하려는 쿼터니언 성분
Sign[·]: 값의 부호를 구별하는 연산
q₁²+q₂²+q₃²+q₄²: 단위 쿼터니언에서는 1이 되는 합

이 글의 흐름

결과식을 먼저 살핀 뒤 단위 길이 조건을 사용하여 대각 성분 조합을 정리한다. 각 조합이 4qᵢ²로 모이는 과정을 확인하면 제곱근과 1/2 계수가 등장하는 이유를 이해할 수 있다.

크기를 구하는 식과 부호를 정하는 식을 나눈다

q₁은 대각 성분의 합으로 구하고, q₂·q₃·q₄는 대각 성분의 차이와 Sign 항을 함께 사용한다. 제곱근은 성분의 크기에 관련되고, Sign은 방향에 관련된다. 따라서 제곱근 부분만 계산해서는 전체 쿼터니언을 결정한 것으로 볼 수 없다.

주제와 표기

Rotation Matri $x_{A}^{B} R$ →Quaternio $n_{B}^{A}$ $\hat{q}$

q_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{r_{11} + r_{22} + r_{33} + 1}

q_{2} = - \frac{Sign [r_{32} - r_{23}]}{2} \sqrt{r_{11} - r_{22} - r_{33} + 1}

q_{3} = - \frac{Sign [r_{13} - r_{31}]}{2} \sqrt{r_{22} - r_{33} - r_{11} + 1}

q_{4} = - \frac{Sign [r_{21} - r_{12}]}{2} \sqrt{r_{33} - r_{11} - r_{22} + 1}

Rotation Matrix $_{B}^{A}$ R → Quaternion $_{B}^{A}$ $\hat{q}$

$수식$

1

단위 길이 조건을 이용해 항을 묶는다

먼저 네 성분의 제곱합이 1이라는 조건을 둔다. 다음으로 r₁₁+r₂₂+r₃₃+1에 각 대각 성분의 표현을 대입한다. 같은 종류의 항을 묶고 제곱합을 1로 바꾸면 4q₁²가 남는다.

_{B}^{A} \hat{q} = (\begin{matrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} & q_{4} \end{matrix})

{q_{1}}^{2} + {q_{2}}^{2} + {q_{3}}^{2} + {q_{4}}^{2} = 1

2

r_{11} + r_{22} + r_{33} + 1

= (2 {q_{1}}^{2} - 1 + 2 {q_{2}}^{2}) + (2 {q_{1}}^{2} - 1 + 2 {q_{3}}^{2}) + (2 {q_{1}}^{2} - 1 + 2 {q_{4}}^{2}) + 1

= 2 (- 1 + 2 {q_{1}}^{2} + {q_{1}}^{2} + {q_{2}}^{2} + {q_{3}}^{2} + {q_{4}}^{2}) = 2 (- 1 + 2 {q_{1}}^{2} + 1)

= 4 {q_{1}}^{2}

다른 성분도 같은 방식으로 분리한다

대각 성분의 부호 조합을 바꾸면 q₂², q₃², q₄²를 각각 남길 수 있다. 네 식의 모양을 따로 외우기보다 어떤 대각 성분은 더하고 어떤 성분은 빼는지 비교한다. 마지막 q₄ 전개의 중간에는 a₄라는 표기도 나타나므로, q₄와의 동일성이 별도 정의 없이 확정된 것으로 읽지 않는다.

r_{11} - r_{22} - r_{33} + 1

= (2 {q_{1}}^{2} - 1 + 2 {q_{2}}^{2}) - (2 {q_{1}}^{2} - 1 + 2 {q_{3}}^{2}) - (2 {q_{1}}^{2} - 1 + 2 {q_{4}}^{2}) + 1

= - 2 (- 1 + {q_{1}}^{2} - {q_{2}}^{2} + {q_{3}}^{2} + {q_{4}}^{2}) = - 2 (- 1 - 2 {q_{2}}^{2} + {q_{1}}^{2} + {q_{2}}^{2} + {q_{3}}^{2} + {q_{4}}^{2}) = - 2 (- 1 - 2 {q_{2}}^{2} + 1)

= 4 {q_{2}}^{2}

- r_{11} + r_{22} - r_{33} + 1

= - (2 {q_{1}}^{2} - 1 + 2 {q_{2}}^{2}) + (2 {q_{1}}^{2} - 1 + 2 {q_{3}}^{2}) - (2 {q_{1}}^{2} - 1 + 2 {q_{4}}^{2}) + 1

= - 2 (- 1 + {q_{1}}^{2} + {q_{2}}^{2} - {q_{3}}^{2} + {q_{4}}^{2}) = - 2 (- 1 - 2 {q_{3}}^{2} + {q_{1}}^{2} + {q_{2}}^{2} + {q_{3}}^{2} + {q_{4}}^{2}) = - 2 (- 1 - 2 {q_{3}}^{2} + 1)

= 4 {q_{3}}^{2}

- r_{11} - r_{22} + r_{33} + 1

= - (2 {q_{1}}^{2} - 1 + 2 {q_{2}}^{2}) - (2 {q_{1}}^{2} - 1 + 2 {q_{3}}^{2}) + (2 {q_{1}}^{2} - 1 + 2 {q_{4}}^{2}) + 1

= - 2 (- 1 + {q_{1}}^{2} + {q_{2}}^{2} + {q_{3}}^{2} - {q_{4}}^{2}) = - 2 (- 1 - 2 {a_{4}}^{2} + {q_{1}}^{2} + {q_{2}}^{2} + {q_{3}}^{2} + {q_{4}}^{2}) = - 2 (- 1 - 2 {a_{4}}^{2} + 1)

= 4 {q_{4}}^{2}

3

분리한 제곱을 성분으로 되돌린다

4qᵢ²에서 성분을 얻으면 제곱근 앞에 1/2이 붙는다. 나머지 부호는 처음 제시한 차이와 Sign 항으로 연결된다. 근호 안이 허용 범위에 있는지, 선택한 부호식이 0이 되는지까지 확인해야 실제 계산으로 옮길 수 있다.

q_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{r_{11} + r_{22} + r_{33} + 1}

q_{2} = - \frac{Sign [r_{32} - r_{23}]}{2} \sqrt{r_{11} - r_{22} - r_{33} + 1}

q_{3} = - \frac{Sign [r_{13} - r_{31}]}{2} \sqrt{r_{22} - r_{33} - r_{11} + 1}

q_{4} = - \frac{Sign [r_{21} - r_{12}]}{2} \sqrt{r_{33} - r_{11} - r_{22} + 1}

정리하면

대각 성분의 조합은 쿼터니언 성분의 크기를, 비대각 성분의 차이는 부호 선택의 단서를 제공한다. 다만 부호식이 0이 되는 경우까지 모든 회전에서 자동으로 해결된다고 단정하지 않는다.

Rest Math · https://rmath.com/articles/matrix-to-quaternion.html · 2026.09.08 v5 · 해설·음성판

먼저 이해할 내용

기호를 먼저 읽기

이 글의 흐름

01크기를 구하는 식과 부호를 정하는 식을 나눈다

Rotation Matrix BAR → Quaternion BAq^

1

02단위 길이 조건을 이용해 항을 묶는다

2

03다른 성분도 같은 방식으로 분리한다

3

04분리한 제곱을 성분으로 되돌린다