회전과 로보틱스 / NOTE 11

오일러각에서 회전행렬로

Euler → Matrix

Z–Y–X 회전행렬의 곱과 전개식을 정리합니다.

유경환 · Kyunghwan Yoo·수학·센서·로보틱스 노트·2026.09.08 v5 · 해설·음성판

개념에서 수식으로

먼저 이해할 내용

Roll·Pitch·Yaw 세 값을 좌표 변환에 사용하려면 행렬로 정리할 수 있다. 이 글의 핵심은 각도에서 개별 축 회전행렬을 만든 뒤 정해진 순서로 곱하는 것이다.

기호를 먼저 읽기

φ, θ, ψ: Roll·Pitch·Yaw에 대응하는 각도
Rₓ[φ], Rᵧ[θ], R_z[ψ]: 각 축에 대한 회전
rᵢⱼ: 행렬곱으로 얻은 전체 회전행렬의 성분

이 글의 흐름

세 각도를 확인하고 각 축의 회전행렬을 만든다. 다음으로 R_z·Rᵧ·Rₓ의 순서를 유지해 곱한 뒤, 각 성분에 나타나는 삼각함수 항을 읽는다.

축별 변환을 행렬곱으로 결합한다

결과 R의 i행 j열은 해당 행과 열의 곱을 더하여 구한다. 따라서 전개식의 여러 삼각함수 곱은 세 축 회전의 조합에서 나온다. 이 구간의 일부 행렬은 이미지에만 있으므로, 보이지 않는 항을 다른 회전 규약의 식으로 채워 넣어 해석하지 않는다.

주제와 표기

Euler Angle (Roll φ ${\hat{x}}_{B}$ , Pitch θ ${\hat{y}}_{B}$ , Yaw ψ ${\hat{z}}_{B}$ , ZYX) →Rotation Matri $x_{A}^{B} R$

_{A}^{B} R = (\begin{matrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{matrix}) = R_{\hat{z}} [ψ] R_{\hat{y}} [θ] R_{\hat{x}} [ϕ]

$수식$

$수식$

정리하면

변환 결과의 의미는 행렬곱 순서와 기준 좌표계에 달려 있다. 실제 구현에서도 같은 입력 규약을 유지해야 한다.

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