오일러각에서 쿼터니언으로

개념에서 수식으로

먼저 이해할 내용

세 축의 회전각이 주어졌을 때, 이를 자세 계산에 사용할 네 성분으로 표현하는 것이 이 글의 목적이다. 앞의 긴 유도 과정을 압축하여 일반 표현과 단일축 예제를 함께 읽는다.

일반 성분식에서 시작해 두 각도를 0으로 놓고, 남은 한 축의 회전을 확인한다. 마지막에는 각 축에 π/2를 넣어 수치적인 형태를 확인한다.

q₁의 식은 여러 대각 성분을 오일러각으로 펼친 결과이다. 이어지는 q₂·q₃·q₄와 함께 네 성분 전체를 구성한다. 이미지로 제시된 성분식은 실제 항을 확인해야 하므로, 나머지 성분의 부호를 q₁ 식만 보고 추정하지 않는다.

주제와 표기

Euler Angle (Roll φ ${\hat{x}}_{B}$ , Pitch θ ${\hat{y}}_{B}$ , Yaw ψ ${\hat{z}}_{B}$ , ZYX) →Quaternio $n_{B}^{A}$ $\hat{q}$

q_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + \cos [θ] \cos [ϕ] + \cos [θ] \cos [ψ] + \cos [ϕ] \cos [ψ] + \sin [θ] \sin [ϕ] \sin [ψ]}

$수식$

Qₓ[φ]에서는 θ와 ψ를 0으로 놓는다. 이에 따라 y·z 성분이 없어지고 q₁과 x 성분만 남는다. 같은 방법을 y축과 z축에 적용하면 각 축의 단일회전 표현을 얻는다.

Q_{x} [ϕ] = Q [ϕ, 0, 0] = {\frac{1}{2} \sqrt{2 + 2 \cos [ϕ]}, - \frac{1}{2} \sqrt{2 - 2 \cos [ϕ]} Sign [\sin [ϕ]], 0, 0} = {\cos [\frac{ϕ}{2}], - \sin [\frac{ϕ}{2}], 0, 0}

Q_{y} [θ] = Q [0, θ, 0] = {\frac{1}{2} \sqrt{2 + 2 \cos [θ]}, 0, - \frac{1}{2} \sqrt{2 - 2 \cos [θ]} Sign [\sin [θ]], 0} = {\cos [\frac{θ}{2}], 0, - \sin [\frac{θ}{2}], 0}

Q_{z} [ψ] = Q [0, 0, ψ] = {\frac{1}{2} \sqrt{2 + 2 \cos [ψ]}, 0, 0, - \frac{1}{2} \sqrt{2 - 2 \cos [ψ]} Sign [\sin [ψ]]} = {\cos [\frac{ψ}{2}], 0, 0, - \sin [\frac{ψ}{2}]}

원문 예제의 π/2를 반으로 나누면 π/4가 된다. 그 사인과 코사인 때문에 1/√2가 나타나며, 회전축에 해당하는 성분에만 음의 값이 들어간다. 나머지 두 벡터 성분이 0이라는 사실은 다른 축의 회전이 들어 있지 않음을 보여준다.

Q [\frac{π}{2}, 0, 0] = {\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0}

Q [0, \frac{π}{2}, 0] = {\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, - \frac{1}{\sqrt{2}}, 0}

Q [0, 0, \frac{π}{2}] = {\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0, - \frac{1}{\sqrt{2}}}

일반식을 이해하기 어렵다면 단일축 예제부터 확인할 수 있다. 이때 스칼라 성분의 위치와 벡터부의 음의 부호는 일반식과 동일하게 유지한다.

Rest Math · https://rmath.com/articles/euler-to-quaternion.html · 2026.09.08 v5 · 해설·음성판