행렬식과 평면 방정식

개념에서 수식으로

먼저 이해할 내용

세 점을 지나는 평면은 점들이 같은 평면 위에 있다는 조건으로 정할 수 있다. 이 글에서는 그 조건을 행렬식 0으로 적고, 이를 첫 행에 따라 전개하여 평면의 계수를 얻는 과정을 다룬다.

행렬식 조건을 첫 행에 대해 전개하고, x·y·z의 계수를 읽는다. 3×3 계산 규칙을 확인한 뒤, 외적으로 구한 법선과 같은 평면식으로 연결한다.

주제와 표기

Determinant (Det)

첫 행에는 임의의 점 (x,y,z,1), 나머지 행에는 이미 알고 있는 세 점을 둔다. 이 행렬식이 0이라는 조건을 전개하면 임의의 점이 만족해야 할 평면식이 된다. 세 점이 한 직선 위에 있지 않아 평면을 정할 수 있는 경우를 전제로 읽는다.

det (\begin{matrix} x & y & z & 1 \\ x_{0} & y_{0} & z_{0} & 1 \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} & 1 \end{matrix}) = 0

M₁ⱼ는 해당 행과 열을 지우고 남은 부분의 행렬식이다. (−1)^(1+j)는 첫 행의 부호를 +, −, +, −로 번갈아 정한다. 이를 x·y·z·1에 각각 곱해 더하면 원래 4×4 행렬식을 전개한 식이 된다.

C_{1 j} = {(- 1)}^{1 + j} M_{1 j}

M_{i j}

⇒The (i, j) minor of a 3x3 matrix is the determinant of the submatrix formed by deleting the i - th row and the j - th column .

det (\begin{matrix} x & y & z & 1 \\ x_{0} & y_{0} & z_{0} & 1 \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} & 1 \end{matrix}) = x C_{11} + y C_{12} + z C_{13} + 1 C_{14}

a, b, c, d는 각각 첫 행의 여인수에 대응한다. 따라서 b와 d 앞의 음의 부호는 임의로 붙인 것이 아니라 여인수의 위치 규칙에서 나온다. 각 3×3 행렬에 어떤 좌표 열이 남는지 하나씩 확인한다.

a = C_{11} = + M_{11} = det (\begin{matrix} y_{0} & z_{0} & 1 \\ y_{1} & z_{1} & 1 \\ y_{2} & z_{2} & 1 \end{matrix})

b = C_{12} = - M_{12} = - det (\begin{matrix} x_{0} & z_{0} & 1 \\ x_{1} & z_{1} & 1 \\ x_{2} & z_{2} & 1 \end{matrix})

c = C_{13} = + M_{13} = det (\begin{matrix} x_{0} & y_{0} & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \end{matrix})

d = C_{14} = - M_{14} = - det (\begin{matrix} x_{0} & y_{0} & z_{0} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{matrix})

Sarrus 식은 더할 세 곱과 뺄 세 곱으로 나뉜다. 각 항은 서로 다른 행과 열에서 하나씩 고른 성분의 곱이다. 이 방법은 여기의 3×3 식을 계산하는 규칙이며, 4×4에 같은 대각선 규칙을 그대로 적용하지 않는다.

det (\begin{matrix} p & q & r \\ s & t & u \\ v & w & x \end{matrix}) = p t x + q u v + r s w - r t v - q s x - p u w

P₁−P₀와 P₂−P₀는 평면 안에 놓인 두 방향이다. 이 둘의 외적은 두 방향에 모두 수직이므로 평면의 법선 n이 된다. d=−n·P₀를 두면 기준점 P₀를 평면식에 넣었을 때 0이 된다는 마지막 확인식으로 이어진다.

이해를 위한 예로 세 점을 (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0)으로 두면 두 방향의 외적은 (0,0,1)이고 d는 0이다. 따라서 평면식은 z=0이 된다. 이는 원문의 외적 관계에 간단한 값을 넣어 계산한 설명용 예이다.

n = (a, b, c)

P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})

P_{1} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})

P_{2} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})

n = (P_{1} - P_{0}) \times (P_{2} - P_{0})

d = - n \cdot P_{0}

d = - det (\begin{matrix} P_{0} \\ P_{1} \\ P_{2} \end{matrix}) = - (P_{0} \cdot ((P_{1} \times P_{2})))

a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d = 0

행렬식·여인수·외적은 이 문서에서 서로 다른 주제가 아니라 같은 평면을 표현하는 연결된 계산이다. 점의 순서와 부호를 일관되게 유지해야 한다.

Rest Math · https://rmath.com/articles/determinant.html · 2026.09.08 v5 · 해설·음성판