오일러각·쿼터니언 변환 유도

개념에서 수식으로

먼저 이해할 내용

이 문서는 오일러각을 쿼터니언으로 옮기는 결과만 제시하는 것이 아니라, 회전행렬 성분을 대입하여 그 결과에 도달하는 중간 과정을 다룬다. 긴 식을 모두 한 번에 읽기보다 대입·정리·축별 분해·합성의 단계로 나누어 살펴본다.

기호를 먼저 읽기

φ, θ, ψ: 세 축 회전의 각도
rᵢⱼ: 오일러각으로 표현된 회전행렬 성분
Q[φ,θ,ψ]: 세 각도에 대응하는 쿼터니언 표현
B[·,·]: 이 전개에서 사용한 두 쿼터니언의 결합 표기
Sign[·]: 제곱근으로 사라진 부호를 구별하는 항

이 글의 흐름

행렬에서 쿼터니언을 구하는 식에 삼각함수 표현을 대입한다. 그다음 한 축씩 남겨 단순한 형태를 확인하고, 세 축의 결과를 다시 결합한다.

행렬 성분으로 표현한 결과에서 출발한다

먼저 q₁부터 q₄까지를 회전행렬의 성분으로 적는다. 다음 단계에서 이 rᵢⱼ 자리에 오일러각의 사인·코사인 표현을 넣을 예정이다. 어떤 변수를 다른 표현으로 바꾸는지 먼저 알면 식의 길이가 늘어나는 이유를 이해할 수 있다.

주제와 표기

Euler Angle (Roll φ ${\hat{x}}_{B}$ , Pitch θ ${\hat{y}}_{B}$ , Yaw ψ ${\hat{z}}_{B}$ , ZYX) → Quaternion $_{B}^{A}$ $\hat{q}$

q_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{r_{11} + r_{22} + r_{33} + 1}

q_{2} = - \frac{Sign [r_{32} - r_{23}]}{2} \sqrt{r_{11} - r_{22} - r_{33} + 1}

q_{3} = - \frac{Sign [r_{13} - r_{31}]}{2} \sqrt{r_{22} - r_{33} - r_{11} + 1}

q_{4} = - \frac{Sign [r_{21} - r_{12}]}{2} \sqrt{r_{33} - r_{11} - r_{22} + 1}

1

삼각함수 표현을 대입하고 정리한다

대입 후에는 여러 사인·코사인의 곱이 제곱근과 부호 함수 안에 나타난다. 이 단계의 목적은 같은 회전을 φ·θ·ψ만으로 표현하는 것이다. 중간식의 길이를 줄이려고 항이나 부호를 생략하지 않고, 어느 q 성분을 계산하는지 구분해 따라간다.

q_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{r_{11} + r_{22} + r_{33} + 1}

= \frac{1}{2} \sqrt{1 + \cos [θ] \cos [ϕ] + \cos [θ] \cos [ψ] + \cos [ϕ] \cos [ψ] + \sin [θ] \sin [ϕ] \sin [ψ]}

q_{2} = - \frac{Sign [r_{32} - r_{23}]}{2} \sqrt{r_{11} - r_{22} - r_{33} + 1}

$수식$

q_{3} = - \frac{Sign [r_{13} - r_{31}]}{2} \sqrt{r_{22} - r_{33} - r_{11} + 1}

$수식$

q_{4} = - \frac{Sign [r_{21} - r_{12}]}{2} \sqrt{r_{33} - r_{11} - r_{22} + 1}

$수식$

2

q_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + \cos [θ] \cos [ϕ] + \cos [θ] \cos [ψ] + \cos [ϕ] \cos [ψ] + \sin [θ] \sin [ϕ] \sin [ψ]}

$수식$

3

$수식$

한 축만 남겨 결과를 확인한다

Q[φ,0,0]에서는 x축 회전만 남고, Q[0,θ,0]과 Q[0,0,ψ]에서는 각각 y축과 z축 회전만 남는다. 다른 두 각도가 0이 되면 많은 항이 없어져 반각의 사인·코사인 두 값으로 단순해진다. 이는 복잡한 일반식을 이해하기 위한 가장 직접적인 확인 과정이다.

Q [ϕ, 0, 0]

= {\frac{1}{2} \sqrt{2 + 2 \cos [ϕ]}, - \frac{1}{2} \sqrt{2 - 2 \cos [ϕ]} Sign [\sin [ϕ]], 0, 0}

= {\cos [\frac{ϕ}{2}], - \sin [\frac{ϕ}{2}], 0, 0}

Q [0, θ, 0]

= {\frac{1}{2} \sqrt{2 + 2 \cos [θ]}, 0, - \frac{1}{2} \sqrt{2 - 2 \cos [θ]} Sign [\sin [θ]], 0}

= {\cos [\frac{θ}{2}], 0, - \sin [\frac{θ}{2}], 0}

Q [0, 0, ψ]

= {\frac{1}{2} \sqrt{2 + 2 \cos [ψ]}, 0, 0, - \frac{1}{2} \sqrt{2 - 2 \cos [ψ]} Sign [\sin [ψ]]}

= {\cos [\frac{ψ}{2}], 0, 0, - \sin [\frac{ψ}{2}]}

4

단순한 축 회전을 다시 합성한다

B[B[Qₓ,Qᵧ],Q_z]처럼 안쪽 결합부터 계산한다. 이 표기는 먼저 두 축을 결합한 다음 세 번째 축을 결합한다는 순서를 드러낸다. 이어지는 성분식은 이 결합을 실제 숫자와 삼각함수의 계산으로 펼친 결과이다.

$수식$

B [B [Q [ϕ, 0, 0], Q [0, θ, 0]], Q [0, 0, ψ]]

$수식$

5

B [B [{\cos [\frac{ϕ}{2}], - \sin [\frac{ϕ}{2}], 0, 0}, {\cos [\frac{θ}{2}], 0, - \sin [\frac{θ}{2}], 0}], {\cos [\frac{ψ}{2}], 0, 0, - \sin [\frac{ψ}{2}]}]

$수식$

최종 네 줄을 하나의 결과로 정리한다

마지막 네 식은 q₁·q₂·q₃·q₄를 각각 나타낸다. 앞 단계의 축별 반각 정의가 이 네 줄에 모두 남아 있다는 점을 확인한다. 특별한 각도를 대입하여 0이 되는 항을 지우면 일반식과 단일축 결과의 연결을 다시 살펴볼 수 있다.

q_{1} = \cos [\frac{ϕ}{2}] \cos [\frac{θ}{2}] \cos [\frac{ψ}{2}] + \sin [\frac{ϕ}{2}] \sin [\frac{θ}{2}] \sin [\frac{ψ}{2}]

q_{2} = - \sin [\frac{ϕ}{2}] \cos [\frac{θ}{2}] \cos [\frac{ψ}{2}] + \cos [\frac{ϕ}{2}] \sin [\frac{θ}{2}] \sin [\frac{ψ}{2}]

q_{3} = - \cos [\frac{ϕ}{2}] \sin [\frac{θ}{2}] \cos [\frac{ψ}{2}] - \sin [\frac{ϕ}{2}] \cos [\frac{θ}{2}] \sin [\frac{ψ}{2}]

q_{4} = - \cos [\frac{ϕ}{2}] \cos [\frac{θ}{2}] \sin [\frac{ψ}{2}] + \sin [\frac{ϕ}{2}] \sin [\frac{θ}{2}] \cos [\frac{ψ}{2}]

정리하면

긴 전개가 보여주는 것은 새로운 여러 공식이 아니라, 같은 회전을 서로 다른 표현으로 옮겨도 같은 구조에 도달하는 과정이다. 이미지 중간식의 세부 항은 해당 식이 표시될 때 함께 대조하며 읽는다.

Rest Math · https://rmath.com/articles/euler-quaternion-derivation.html · 2026.09.08 v5 · 해설·음성판

먼저 이해할 내용

기호를 먼저 읽기

이 글의 흐름

01행렬 성분으로 표현한 결과에서 출발한다

1

02삼각함수 표현을 대입하고 정리한다

2

3

03한 축만 남겨 결과를 확인한다

4

04단순한 축 회전을 다시 합성한다

5

05최종 네 줄을 하나의 결과로 정리한다

정리하면

함께 읽을 노트

행렬 성분으로 표현한 결과에서 출발한다

삼각함수 표현을 대입하고 정리한다

한 축만 남겨 결과를 확인한다

단순한 축 회전을 다시 합성한다

최종 네 줄을 하나의 결과로 정리한다