자기센서 보정 · Rest Math

개념에서 수식으로

먼저 이해할 내용

자기센서의 측정점들이 원점에서 벗어나거나 축마다 서로 다른 크기로 퍼지면 방향 해석이 달라질 수 있다. 이 글은 측정점의 분포를 구 또는 축에 정렬된 타원체 식으로 적고, 그 계수에서 중심과 크기 관련 값을 읽는 전개를 다룬다.

기호를 먼저 읽기

x, y, z: 한 번 측정한 세 축의 값
a, b, c: 분포 중심에 해당하는 좌표
r: 구 모델의 반지름
AA, BB, CC: 축별 제곱항의 계수
W[[i]]: 원문 Mathematica 표기에서 계수벡터의 i번째 항
X, Y: 회귀 계산을 위해 모은 입력 행렬과 목표벡터

이 글의 흐름

이차식을 펼쳐 회귀 계수로 적고, 완전제곱 형태로 다시 묶어 중심을 읽는다. 구와 타원체를 구별하며, 샘플 수를 늘려 행렬을 구성하는 과정을 따라간다.

주제와 표기

Magnetic sensor Soft/Hard Iron

Elliptical Sphere

중심을 가진 타원체를 계수식으로 적는다

AA(x−a)²처럼 중심에서의 차이를 제곱하면 각 축의 퍼짐을 나타낼 수 있다. 이를 전개하면 x²·y²·z² 항, 일차항, 상수항으로 나뉜다. W의 각 성분은 이 전개식의 계수이므로, 물리적 중심 a·b·c와 같은 값으로 바로 읽지 않는다.

A A {(x - a)}^{2} + B B {(y - b)}^{2} + C C {(z - c)}^{2} = 1

W [[1]] x^{2} + W [[2]] y^{2} + W [[3]] z^{2} - 2 W [[4]] x - 2 W [[5]] y - 2 W [[6]] z + W [[7]] = 1

완전제곱으로 묶어 중심을 되찾는다

일차항과 이차항을 묶으면 x−W[[4]]/W[[1]] 같은 형태가 된다. 괄호 안에서 빼는 값이 해당 축의 중심 좌표이다. 따라서 중심은 하나의 계수 자체가 아니라 일차항 계수와 이차항 계수의 비율로 읽는다.

W [[1]] {(x - \frac{W [[4]]}{W [[1]]})}^{2} + W [[2]] {(y - \frac{W [[5]]}{W [[2]]})}^{2} + W [[3]] {(z - \frac{W [[6]]}{W [[3]]})}^{2} + W [[7]] - \frac{{W [[4]]}^{2}}{W [[1]]} - \frac{{W [[5]]}^{2}}{W [[2]]} - \frac{{W [[6]]}^{2}}{W [[3]]} = 1

(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{W [[4]]}{W [[1]]} \\ \frac{W [[5]]}{W [[2]]} \\ \frac{W [[6]]}{W [[3]]} \end{matrix})

Sphere

세 축의 크기 조건을 같게 두면 구 모델이 된다

구 모델에서는 x·y·z의 제곱항에 같은 계수를 사용한다. 타원체와 달리 세 방향에서 동일한 반지름을 전제로 하는 것이다. 이 조건이 바뀌면 회귀에 필요한 계수의 개수도 달라진다.

A A {(x - a)}^{2} + A A {(y - b)}^{2} + A A {(z - c)}^{2} == 1

W [[1]] x^{2} + W [[1]] y^{2} + W [[1]] z^{2} - 2 W [[2]] x - 2 W [[3]] y - 2 W [[4]] z + W [[5]] == 1

W [[1]] {(x - \frac{W [[2]]}{W [[1]]})}^{2} + W [[1]] {(y - \frac{W [[3]]}{W [[1]]})}^{2} + W [[1]] {(z - \frac{W [[4]]}{W [[1]]})}^{2} + W [[5]] - \frac{{W [[2]]}^{2}}{W [[1]]} - \frac{{W [[3]]}^{2}}{W [[1]]} - \frac{{W [[4]]}^{2}}{W [[1]]} = 1

(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{W [[2]]}{W [[1]]} \\ \frac{W [[3]]}{W [[1]]} \\ \frac{W [[4]]}{W [[1]]} \end{matrix})

반지름과 중심이 계수에 어떻게 들어가는지 읽는다

구 식을 r²로 나누어 전개하면 제곱항 계수와 중심 좌표가 r²에 의해 함께 스케일된다. 원문은 이 관계를 W[[1]]부터 W[[5]]에 연결한다. 중심을 얻을 때 계수의 비율을 사용하는 이유를 여기서 다시 확인할 수 있다.

\frac{{(x - a)}^{2}}{r^{2}} + \frac{{(y - b)}^{2}}{r^{2}} + \frac{{(z - c)}^{2}}{r^{2}} == 1

\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{r^{2}} - \frac{2 a x}{r^{2}} - \frac{2 b y}{r^{2}} - \frac{2 c z}{r^{2}} + \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{r^{2}} == 1

x = [x^{2} + y^{2} + z^{2}, 2 x, 2 y, 2 z]

W [[1]] == \frac{1}{r^{2}};

W [[2]] = \frac{a}{r^{2}};

W [[3]] = \frac{b}{r^{2}};

W [[4]] = \frac{c}{r^{2}};

W [[5]] = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{r^{2}}

a = \frac{W [[2]]}{W [[1]]};

b = \frac{W [[3]]}{W [[1]]};

c = \frac{W [[4]]}{W [[1]]};

원래 측정값을 회귀용 입력으로 바꾼다

한 샘플의 x·y·z를 그대로 넣는 대신, x²+y²+z², −2x, −2y, −2z, 1로 구성한 한 행을 만든다. 이 행에 계수벡터 W를 곱하면 구의 전개식에 대응한다. Y의 1은 현재 모델식의 오른쪽 상수이다.

W= ${(x^{T} x)}^{- 1}$ (xy)

x = [x^{2} + y^{2} + z^{2}, - 2 x, - 2 y, - 2 z, 1]

y = [1]

W = (\begin{matrix} A A \\ B B \\ C C \\ D D \\ E E \end{matrix})

X = (\begin{matrix} A 1 & B 1 & C 1 & D 1 & E 1 \\ A t & B t & C t & D t & E t \end{matrix}); Y = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix});

W = {(X^{T} \cdot X)}^{- 1} \cdot (X^{T} \cdot Y);

1 샘플을 쌓는 과정과 해의 존재는 구별한다

한 행, 두 행, 세 행으로 X를 늘려 가는 구간은 데이터가 행렬에 어떻게 들어가는지 보여준다. 그러나 미지수보다 독립적인 관측 조건이 적으면 XᵀX의 역행렬이 존재하지 않을 수 있다. 제시된 중간 출력이 모든 측정 집합에서 유일한 보정값을 보장하는 것으로 읽지 않는다.

X = (\begin{matrix} A 0 & B 0 & C 0 & D 0 & 1 \end{matrix}); Y = (1);

W = {(X^{T} \cdot X)}^{- 1} \cdot (X^{T} \cdot Y);

W//MatrixForm

\begin{matrix} \frac{5}{A} 0 \\ \frac{5}{B} 0 \\ \frac{5}{C} 0 \\ \frac{5}{D} 0 \\ 5 \end{matrix} \cdot 1

2

X = (\begin{matrix} A 0 & B 0 & C 0 & D 0 & 1 \\ A 1 & B 1 & C 1 & D 1 & 1 \end{matrix}); Y = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix});

W = {(X^{T} \cdot X)}^{- 1} \cdot (X^{T} \cdot Y);

W//MatrixForm

$수식$

3

X = (\begin{matrix} A 0 & B 0 & C 0 & D 0 & 1 \\ A 1 & B 1 & C 1 & D 1 & 1 \\ A 2 & B 2 & C 2 & D 2 & 1 \end{matrix}); Y = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix});

W = {(X^{T} \cdot X)}^{- 1} \cdot (X^{T} \cdot Y);

W//MatrixForm

$수식$

4

X = (\begin{matrix} A 0 & B 0 & C 0 & D 0 & 1 \\ A 1 & B 1 & C 1 & D 1 & 1 \\ A 2 & B 2 & C 2 & D 2 & 1 \\ A 3 & B 3 & C 3 & D 3 & 1 \end{matrix}); Y = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix});

W = {(X^{T} \cdot X)}^{- 1} \cdot (X^{T} \cdot Y);

W//MatrixForm

$수식$

t

반복 측정에서 계수를 읽는 흐름을 정리한다

각 시점의 측정값으로 A_t·B_t·C_t·D_t를 만들고 행렬에 쌓는다. 계수 W를 얻은 다음 원문이 제시한 관계로 반지름과 중심을 계산한다. 계수마다 역할이 다르므로 단위를 포함한 원래 모델의 정의와 함께 해석한다.

A t = x^{2} + y^{2} + z^{2};

B t = - 2 x;

C t = - 2 y;

D t = - 2 z;

E t = 1;

X = (\begin{matrix} A 1 & B 1 & C 1 & D 1 & 1 \\ : & : & : & : & : \\ A t & B t & C t & D t & 1 \end{matrix}); Y = (\begin{matrix} 1 \\ : \\ 1 \end{matrix});

W = {(X^{T} \cdot X)}^{- 1} \cdot (X^{T} \cdot Y);

W//MatrixForm

$수식$

W [[5]] = 5

r^{2} = \frac{1}{W [[1]]};

a = \frac{W [[2]]}{W [[1]]};

b = \frac{W [[3]]}{W [[1]]};

c = \frac{W [[4]]}{W [[1]]};

같은 모델을 다른 묶음으로 다시 확인한다

이 구간은 구 모델의 입력 행과 계수 복원 관계를 다시 제시한다. 앞 구간과 동일한 역할의 항을 짝지어 보면 반복되는 식의 목적을 이해할 수 있다. W[[5]]=5처럼 고정값으로 보이는 중간 결과는 모든 데이터에 대한 일반 보정 상수로 확정하지 않는다.

W= ${(x^{T} x)}^{- 1}$ (xy)

x = [x^{2} + y^{2} + z^{2}, - 2 x, - 2 y, - 2 z, 1]

y = [1]

$수식$

W [[5]] = 5

r^{2} = \frac{1}{W [[1]]};

a = \frac{W [[2]]}{W [[1]]};

b = \frac{W [[3]]}{W [[1]]};

c = \frac{W [[4]]}{W [[1]]};

Elliptical Sphere

축마다 다른 계수를 갖는 타원체로 확장한다

이번에는 x²·y²·z²를 각각 독립된 입력 열로 둔다. 이 때문에 구 모델보다 더 많은 계수가 필요하며, 중심을 되찾는 계수의 짝도 달라진다. xy·yz·zx 교차항이 제시되지 않은 식은 축에 정렬된 모델 범위에서 읽는다.

A A {(x - a)}^{2} + B B {(y - b)}^{2} + C C {(z - c)}^{2} = 1

W [[1]] x^{2} + W [[2]] y^{2} + W [[3]] z^{2} - 2 W [[4]] x - 2 W [[5]] y - 2 W [[6]] z + W [[7]] = 1

W [[1]] {(x - \frac{W [[4]]}{W [[1]]})}^{2} + W [[2]] {(y - \frac{W [[5]]}{W [[2]]})}^{2} + W [[3]] {(z - \frac{W [[6]]}{W [[3]]})}^{2} + W [[7]] - \frac{{W [[4]]}^{2}}{W [[1]]} - \frac{{W [[5]]}^{2}}{W [[2]]} - \frac{{W [[6]]}^{2}}{W [[3]]} = 1

(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{W [[4]]}{W [[1]]} \\ \frac{W [[5]]}{W [[2]]} \\ \frac{W [[6]]}{W [[3]]} \end{matrix})

W= ${(x^{T} x)}^{- 1}$ (xy)

확장한 행렬에서도 같은 회귀 원리를 사용한다

샘플별 일곱 성분의 입력을 쌓아 W를 구하는 형식이다. 행을 늘려 가는 과정은 앞의 구 모델과 같지만, 충분한 독립 정보가 있어야 계수를 구별할 수 있다. 이미지에만 있는 긴 성분 출력은 이 행렬 연산의 구체적 전개이며, 보이지 않는 계수를 임의로 정하지 않는다.

x = [x^{2}, y^{2}, z^{2}, - 2 x, - 2 y, - 2 z, 1]

1

X = (\begin{matrix} A 1 & B 1 & C 1 & D 1 & E 1 & F 1 & 1 \end{matrix}); Y = (1);

W = {(X^{T} \cdot X)}^{- 1} \cdot (X^{T} \cdot Y);

W//MatrixForm

\begin{matrix} \frac{7}{A} 1 \\ \frac{7}{B} 1 \\ \frac{7}{C} 1 \\ \frac{7}{D} 1 \\ \frac{7}{E} 1 \\ \frac{7}{F} 1 \\ 7 \end{matrix} \cdot 1

2

X = (\begin{matrix} A 1 & B 1 & C 1 & D 1 & E 1 & F 1 & 1 \\ A 2 & B 2 & C 2 & D 2 & E 2 & F 2 & 1 \end{matrix}); Y = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix});

W = {(X^{T} \cdot X)}^{- 1} \cdot (X^{T} \cdot Y);

W//MatrixForm

$수식$

3

X = (\begin{matrix} A 1 & B 1 & C 1 & D 1 & E 1 & F 1 & 1 \\ A 2 & B 2 & C 2 & D 2 & E 2 & F 2 & 1 \\ A 3 & B 3 & C 3 & D 3 & E 3 & F 3 & 1 \end{matrix}); Y = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix});

W = {(X^{T} \cdot X)}^{- 1} \cdot (X^{T} \cdot Y);

W//MatrixForm

$수식$

t

X = (\begin{matrix} A 1 & B 1 & C 1 & D 1 & E 1 & F 1 & 1 \\ A 2 & B 2 & C 2 & D 2 & E 2 & F 2 & 1 \\ A t & B t & C t & D t & E t & F t & 1 \end{matrix}); Y = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix});

W = {(X^{T} \cdot X)}^{- 1} \cdot (X^{T} \cdot Y);

W//MatrixForm

$수식$

정리하면

보정 계수의 목적은 식을 복잡하게 만드는 것이 아니라 측정 분포의 중심 이동과 축별 크기를 분리하는 데 있다. 원문의 모델이 모든 교차축 왜곡까지 포함한다고 확대 해석하지 않는다.

Rest Math · https://rmath.com/articles/magnetic-calibration.html · 2026.09.08 v5 · 해설·음성판

먼저 이해할 내용

기호를 먼저 읽기

이 글의 흐름

Elliptical Sphere

01중심을 가진 타원체를 계수식으로 적는다

02완전제곱으로 묶어 중심을 되찾는다

Sphere

03세 축의 크기 조건을 같게 두면 구 모델이 된다

04반지름과 중심이 계수에 어떻게 들어가는지 읽는다

05원래 측정값을 회귀용 입력으로 바꾼다

W=(xTx)−1(xy)

1

06샘플을 쌓는 과정과 해의 존재는 구별한다

2

3

4

t

07반복 측정에서 계수를 읽는 흐름을 정리한다

08같은 모델을 다른 묶음으로 다시 확인한다

W=(xTx)−1(xy)

Elliptical Sphere

09축마다 다른 계수를 갖는 타원체로 확장한다

W=(xTx)−1(xy)

10확장한 행렬에서도 같은 회귀 원리를 사용한다

1

2

3

t

정리하면

함께 읽을 노트

중심을 가진 타원체를 계수식으로 적는다

완전제곱으로 묶어 중심을 되찾는다

세 축의 크기 조건을 같게 두면 구 모델이 된다

반지름과 중심이 계수에 어떻게 들어가는지 읽는다

원래 측정값을 회귀용 입력으로 바꾼다

W= ${(x^{T} x)}^{- 1}$ (xy)

샘플을 쌓는 과정과 해의 존재는 구별한다

반복 측정에서 계수를 읽는 흐름을 정리한다

같은 모델을 다른 묶음으로 다시 확인한다

W= ${(x^{T} x)}^{- 1}$ (xy)

축마다 다른 계수를 갖는 타원체로 확장한다

W= ${(x^{T} x)}^{- 1}$ (xy)

확장한 행렬에서도 같은 회귀 원리를 사용한다