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REST MATH · FUNWORLD 수학·알고리즘 학습실
MATHEMATICS · VISUAL SIMULATION · CONTROL & ALGORITHMS

수학적 이해에서
알고리즘 시뮬레이션까지

좌표와 차원, 도형과 사영을 눈으로 살펴보고 변수를 직접 움직이며 수식의 의미를 이해합니다. 수학적 구조의 탐구와 센서·필터·제어 알고리즘의 응용을 함께 담은 rmath.com 학습 공간입니다.

수학적 이해와 시뮬레이션 ↓제어·상태 추정 학습 ↓전체 시뮬레이터 5종 ↓
MATH수학적 이해좌표 · 차원 · 기하 · 단면 · 사영 APPLICATION센서·제어·알고리즘상태 추정 · 피드백 · 모터 · 분류
MATHEMATICAL UNDERSTANDING

01. 수학적 이해와 시뮬레이션

기하·차원 실습 1종

수식의 변수를 바꾸었을 때 어떤 구조가 유지되고, 어떤 모습이 달라지는지 살펴봅니다. 좌표와 점·선으로 만든 도형을 통해 추상적인 수학을 직접 탐구하는 영역입니다.

GEOMETRY & PROJECTION · HYPERSPHERE

4차원 초구면
단면과 입체사영

x² + y² + z² + w² = 1

네 번째 좌표 w를 움직이며 사영 전 단면과 사영 후 도형을 비교합니다. 예전의 점·선 수식으로 만든 원본 회전곡면도 함께 살펴봅니다.

2D · 3D · 4Dw 단면입체사영점과 선
초구면 시뮬레이션 열기 ↗
좌표와 차원

원 → 구면 → 초구면으로 식의 좌표가 하나씩 늘어나는 과정을 봅니다.

단면과 사영

w를 고정해 얻은 단면과, 직선으로 옮긴 입체사영의 차이를 비교합니다.

수식과 도형의 연결

같은 매개변수의 변화가 점의 좌표와 곡면 전체에 어떻게 나타나는지 확인합니다.

식의 의미: 등호 = 1은 4차원 단위 공의 경계인 초구면 S³을 나타냅니다. 내부까지 포함한 공은 ≤ 1로 씁니다. 화면에서 드래그하는 동작은 3차원 보기의 회전이며, w 이동은 서로 다른 단면을 선택하는 동작입니다.

SENSORS · STATE ESTIMATION · CONTROL

02. 센서·상태 추정·피드백 제어

N개 이종 센서와 M개 액추에이터를 이용한
다변수 상태 추정 및 최적 피드백 제어 시스템

실제 드론·로봇·웨어러블 장치에서는 측정값과 내부 상태가 다릅니다. IMU는 각속도와 가속도를 측정하지만 자세는 추정해야 하고, 바퀴 엔코더의 적분 위치는 미끄러짐으로 오차가 누적됩니다. 여러 측정값을 융합하여 상태를 추정한 다음 제어 입력을 결정합니다.

N센서 측정 채널 y ∈ ℝᴺ
P내부 상태 차원 x ∈ ℝᴾ
M제어 입력 채널 u ∈ ℝᴹ

핵심: N, P, M은 서로 다른 수입니다. 센서 수가 상태 차원 이상이어도 가관측성이 보장되지 않고, 제어 입력 수가 많아도 가제어성이 자동으로 보장되지 않습니다.

03. 센서 N · 상태 P · 액추에이터 M 차원 실험

N = 6 센서IMU · 엔코더 · 거리 · 압력
상태 추정Kalman · EKF · Observer
피드백 제어PID · LQR · MPC
M = 4 구동기모터 · 서보 · 밸브
6 × 6A: 상태 행렬
6 × 4B: 제어 입력 행렬
6 × 6C: 관측 행렬

D: 6 × 4 · Q: 6 × 6 · R: 6 × 6 · 상태 피드백 K: 4 × 6 · 관측기 L: 6 × 6

04. 상태공간과 최적 피드백 — 핵심 수식

연속시간 상태공간 모델

ẋ = Ax + Bu + w
y = Cx + Du + v

상태 x, 제어 u, 측정 y, 프로세스 잡음 w, 측정 잡음 v로 표현합니다.

이산시간 상태 추정

x̂ₖ⁻ = A x̂ₖ₋₁⁺ + B uₖ₋₁
x̂ₖ⁺ = x̂ₖ⁻ + Kₖ(yₖ − Cx̂ₖ⁻)

칼만 필터는 예측과 관측의 차이(혁신)를 사용해 상태를 보정합니다. D=0인 단순화 모델입니다.

가제어성 · 가관측성

rank([B AB … Aᴾ⁻¹B]) = P
rank([C; CA; …; CAᴾ⁻¹]) = P

선형 시불변 시스템의 완전 가제어성 및 가관측성 조건입니다.

최적 상태 피드백 (LQR)

u = −Kx̂
J = ∫ (xᵀQx + uᵀRu) dt

상태와 제어 에너지 사이의 균형을 설계합니다. 목표 추종에는 기준값 보상이 필요할 수 있습니다.

센서 융합·SLAM은 상태 추정, PID·LQR·MPC는 제어, SVM은 분류·학습에 해당합니다. 서로 다른 역할을 연결하여 전체 시스템을 구성합니다.

05. 전체 학습 시뮬레이터

수학적 이해, 제어·구동, 필터·상태 추정, 분류·학습 분야의 실습 5종입니다. 분야를 선택하거나 검색한 뒤 원하는 시뮬레이션을 새 탭에서 열어보세요.

전체 5개 중 5개 표시

06. 관심 분야에 따라 선택하는 학습 경로

수학적 이해

수식과 좌표 → 점과 선 → 차원과 단면 → 입체사영

초구면으로 탐구 시작 ↗
제어·상태 추정

상태공간 → 피드백 → 모터 → 상태 추정 → 최적 제어

N·P·M 차원 실험부터 시작 ↓
단계 학습 분야 이해해야 할 내용 연결 실습
1 선형대수 · 상태공간 행렬, 상태 x, 측정 y, 제어 u, 시스템 모델 N·P·M 차원 실험
2 피드백 제어 오차, PID 게인, 응답속도, 오버슈트, 노이즈 PID / RPM ↗
3 모터 구동 역기전력, 전기각, 스위칭, 제어주기 센서리스 BLDC ↗
4 상태 추정 · 센서 융합 오도메트리, EKF, 공분산, 랜드마크 보정 EKF-SLAM ↗
5 다변수·최적 제어 역기구학, SVM, PD와 LQR 비용함수 비교 2관절 로봇팔 ↗
6 MIMO · MPC 가제어성·가관측성, 제약조건, 예측 제어 추후 추가

07. 제어·상태 추정 확장 계획

다변수 MIMO 제어다중 센서·액추에이터 간 상호 간섭, 가제어성·가관측성 실험
MPC 모델 예측 제어제어 입력 제한, 미래 상태 예측, 비용함수 비교
센서 융합 EKF / UKFIMU·엔코더·거리센서 융합과 잡음 공분산 실험
FOC · 3상 모터 제어Clarke/Park 변환, 전류 제어, 회전자 위치 추정
강인 제어 H∞ · SMC모델 오차와 외란에 대한 제어 성능 비교
Control AllocationM개 구동기에 목표 힘·토크를 배분하는 최적화