예전의 점과 선에서 수식을 되찾고, 네 번째 좌표 w로 확장합니다.
같은 값을 움직이며 원본 회전곡면 · 초구면 단면 · 입체사영의 관계를 살펴보세요.
√(1 − w²)
2r / (1 + w)
곡선의 교점·닫힌 끝점 중복 포함
현재 보이는 것은 고정 w 단면의 사영상입니다. 모든 w를 모으면, 사영 중심을 제외한 초구면 전체는 3차원 공간 전체에 대응합니다.
금색 점은 같은 방향을 유지합니다. w를 바꾸면 사영 전후 좌표가 함께 변합니다.
| 점의 상태 | x | y | z | w |
|---|---|---|---|---|
| 초구면 위 P | — | — | — | — |
| 사영된 Q | — | — | — | — |
첨부 파일의 좌표 배열을 복원하고 수학적으로 연결했습니다.
원본의 제어점은 단위원 위의 (x₀, y₀) = (cos p, sin p)입니다. 원본의 변수 z는 출력 좌표 Z와 구분하려고 h로 바꾸어 씁니다. 배열에 반복되는 항을 정리하면 다음 식이 됩니다.
a = 0이면 반지름 |h|인 구면입니다. a ≠ 0, h ≠ 0에서는 회전하는 원이 축을 통과하는 스핀들 토러스가 됩니다. h = 0, a ≠ 0은 혼 토러스이며, a = h = 0은 한 점입니다.
원본 초기값 x₀ = 0, y₀ = 1, h = 1에서는 단위 구면이 정확히 복원됩니다. 두 부호의 h는 같은 곡면을 만들고 높이 제어점만 반대쪽으로 옮깁니다.
원본에는 독립된 w나 4차원 좌표 벡터가 없습니다. 새 실험에서는 y₀ = w로 연결하고 단위원 조건을 유지합니다. 이 연결은 원본을 초구면으로 확장하기 위해 새로 정의한 것입니다.
4차원 단위 초구면은 x² + y² + z² + w² = 1을 만족하는 점들의 집합입니다. w를 하나로 고정하면 남은 세 좌표는 다음 구면 위에 놓입니다.
원본 제어값 (x₀, y₀, h) 자체가 초구면 위의 점이라는 뜻은 아닙니다. x₀는 남은 좌표 길이 r에 부호를 붙인 제어값이며, h는 원본 곡면 전용 변수입니다.
사영 중심은 남극 S = (0, 0, 0, −1), 받는 곳은 북극에 접하는 초평면 W = +1입니다. 초구면 위의 점 P = (p, w)를 지나는 직선을 이 초평면까지 연장합니다.
받는 초평면의 마지막 좌표는 항상 1이므로, 그 상수 좌표를 생략하면 3차원 좌표 Q가 됩니다. 단면의 사영 반지름은 ρ(w) = 2√((1 − w)/(1 + w))이고, 원본의 값과는 a = ερ(w)로 정확히 이어집니다.
계수 2는 받는 곳을 W = +1로 선택했기 때문에 생깁니다. W = 0으로 사영하는 다른 규약과는 전체 크기가 2배 다릅니다.
4D에서 한 프레임은 S³ 전체의 한 w 단면을 사영한 것입니다. 모든 −1 < w ≤ 1의 사영 구면을 모으면 반지름이 0부터 무한대까지 달라져 3차원 공간 전체를 채웁니다.
원본 회전곡면은 같은 a를 사용하지만 b를 구한 뒤 원을 회전시키는 별도 도형입니다. 따라서 w = +1, h = 1에서 초구면 단면과 사영상은 한 점이지만, 원본 회전곡면은 반지름 1의 구면입니다.
화면의 회전은 표시된 3차원 도형을 보는 카메라의 회전입니다. w 이동은 4차원 공간의 서로 다른 단면을 고르는 동작입니다. 점과 선은 그 도형을 읽기 위한 표본이며, 채워진 면이나 체적을 그리지 않습니다.
예를 들어 a = h = 1이면 제곱합이 3 − 2√2부터 3 + 2√2까지 바뀝니다. 반지름이 일정한 구면의 방정식과 다릅니다.
| w | 단면 r | 사영 ρ | 원본 a (ε = +1) | 원본 b (h = 1) |
|---|---|---|---|---|
| −1 | 0 | 미정의 (접근 극한 ∞) | 미정의 | 미정의 |
| −0.8 | 0.6 | 6 | 6 | √37 ≈ 6.083 |
| −0.6 | 0.8 | 4 | 4 | √17 ≈ 4.123 |
| 0 | 1 | 2 | 2 | √5 ≈ 2.236 |
| +0.6 | 0.8 | 1 | 1 | √2 ≈ 1.414 |
| +0.8 | 0.6 | 2/3 ≈ 0.667 | 2/3 | √13 / 3 ≈ 1.202 |
| +1 | 0 | 0 | 0 | 1 → 원본은 구면 |
차원을 바꾸면: 2D 원의 고정 좌표 단면은 두 점, 3D 구면의 단면은 원, 4D 초구면의 단면은 구면입니다. 끝점에서는 한 점으로 줄어듭니다. 이 도구의 “원·구면·초구면”은 등호 = 1인 경계이며, 내부까지 포함한 공은 ≤ 1로 씁니다.
① 입체사영 모드에서 w = +1 → 0 → −0.8 → −1로 옮기며 크기를 비교합니다. ② 같은 w에서 단면 모드로 바꾸어 r과 ρ를 비교합니다. ③ 원본 회전곡면 모드에서 “원본 초기 상태”를 선택하고 w를 내리며 구면이 변하는 과정을 봅니다.
원본은 150개 Line과 5개 Point로 구성됩니다. 곡면은 74 + 74 = 148개의 곡선이고, 보조 원은 2개입니다. 각 곡선에 닫는 끝점을 포함한 75개 좌표가 있어 총 11,250개의 좌표 출현이 기록됩니다. 각도 간격은 360° / 74 ≈ 4.864865°이며, 1° 설정은 새 버전의 개선입니다.
화면을 드래그하면 회전하고, 휠로 확대합니다. w를 움직이는 동안 축척은 고정되며 “전체 맞춤” 버튼을 눌렀을 때만 도형 크기에 맞춥니다. 화면 밖의 곡면은 잘려 보일 수 있으므로 표시된 반지름 수치를 함께 읽으세요.